收敛半径公式步骤

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根据达朗贝尔审敛法,收敛半径R满足:如果幂级数满足,则:ρ是正实数时,1/ρ;ρ = 0时,+∞;ρ =+∞时,R= 0。

根据达朗贝尔审敛法,收敛半径R满足:如果幂级数满足,阿达马公式则: ρ是正实数时,1/ρ。 ρ = 0时,+∞。ρ =+∞时,R= 0。

根据根值审敛法,则有柯西-阿达马公式,或者,复分析中的收敛半径,将一个收敛半径是正数的幂级数的变量取为复数,就可以定义一个全纯函数。收敛半径可以被如下定理刻画:个中心为 a的幂级数 f的收敛半径 R等于 a与离 a最近的使得函数不能用幂级数方式定义的点的距离,到 a的距离严格小于 R的所有点组成的集合称为收敛圆盘,最近点的取法是在整个复平面中,而不仅仅是在实轴上,即使中心和系数都是实数时也是如此.

例如:函数没有复根。它在零处的泰勒展开为:运用达朗贝尔审敛法可以得到它的收敛半径为1。与此相应的,函数 f(z) 在 ±i 存在奇点,其与原点0的距离是1。三角函数中的正切函数可以被表达成幂级数:运用审敛法可以知道收敛半径为1。

考虑如下幂级数展开:其中有理数 Bn是所谓的伯努利数。对于上述幂级数,很难运用审敛法来计算收敛半径,但运用上面提到的复域中的准则就可以很快得到结果:当 z=0 时,函数没有奇性,因为是可去奇点。仅有的不可去奇点是其他使分母为零的取值,即使得e1 = 0的复数 z。设z= x+ iy,那么要使之等于1,则虚部必须为零。于是有 y= kπ,其中 。同时得到 x= 0。回代后发现 k只能为偶数,于是使得分母为零的 z为2kπi的形式,其中 。离原点最近距离为 2π,于是收敛半径为 2π。

收敛圆上的敛散性如果幂级数在 a附近可展,并且收敛半径为 r,那么所有满足 z a = r的点的集合(收敛圆盘的边界)是一个圆,称为收敛圆。幂级数在收敛圆上可能收敛也可能发散。即使幂级数在收敛圆上收敛,也不一定绝对收敛。

函数: (z) = (1 z) 在z= 0 处展开的幂级数收敛半径为1,并在收敛圆上的所有点处发散。

幂级数的收敛半径是 1 并在整个收敛圆上收敛。设 h(z) 是这个级数对应的函数,那么h(z) 是例2中的 g(z) 除以 z後的导数。 h(z) 是双对数函数。幂级数的收敛半径是 1 并在整个收敛圆上一致收敛,但是并不在收敛圆上绝对收敛。